Ramanujan conjecture
정수론에서 모듈러 형식의 발전에 큰 영향을 미쳤던 정리이다.
목차
1. 진술
2. 역사
3. 일반화
4. 증명의 개요
5. 영상
먼저 다음을 정의하자.
\eta (s) := q \prod^{\infty}_{n = 1} {(1 - {q}^{n})}^{12}여기에서
q = \exp (2 \pi i s)라고 하자. 그러면 이것은 cusp form이고 weight 12가 된다. 그리고 이것을 전개할 수 있는데 다음과 같이 표기하자.
\eta (s) = \sum^{\infty}_{n = 1} \tau (n) {q}^{n}이제
\tau (n)을
라마누잔의 타우 함수(Ramanujan tau function)라고 하자.
라마누잔의 추측은 다음 세 가지의 정리를 말한다.
\tau는 곱셈적 함수이다. 그러니까 m과 n이 서로소면 \tau (mn) = \tau (m) \tau (n)이다.k \geq 2가 정수이고 p가 소수이면 \tau ({p}^{k})=\tau (p) \tau({p}^{k-1}) - {p}^{11} \tau({p}^{k-2})이다.- 모든 소수
p에 대해서 |\tau(p)| \le 2{p}^{\frac{11}{2}}이다.
이 세 정리 중에서 (i)과 (ii)은 Hecke operator로 쉽게 증명할 수 있지만 (iii)은 훨씬 더 어려운 étale cohomology를 이용하고 나서야 증명되었다.
라마누잔은 1916년 자신의 논문에서 라마누잔의 추측을 발표했는데, 라마누잔이 그렇듯이 엄밀한 증명을 하지 않았다. 처음 두 정리는 1917년 모델에 의해서 손쉽게 증명되었지만, 세 번째 정리는 여전히 미해결으로 남아있게 되었다. 1973년에 베이유 추측이 참이라면 라마누잔 추측 역시 참이라는 사실이 증명되었으며, 1974년에 수학자 Pierre Deligne가 étale cohomology를 이용하여 증명하였다.
이것은 임의의 weight k의 cusp form에 대해서 일반화될 수 있다. \Gamma \in \text{SL} (2 , \Bbb{Z})가
\Gamma (N) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod N \right \}
꼴의 군을 부분군으로 가지는 elliptic modular group이라고 하자. 그리고 \Gamma의 모든 cusp form with weight k들의 모임을 {S}_{k} (\Gamma)라고 한다면 {S}_{k} (\Gamma)는 finite dimension을 가지는 벡터공간가 되고 f \in {S}_{k} (\Gamma)일 때 다음 푸리에 급수를 가진다.
f (s) = \sum^{\infty}_{n = 1} {a}_{n} {q}^{n}
여기에서 q = \exp \displaystyle \frac{2 \pi i s}{N}이다. 그러면 |{a}_{n}| {\ll}_{\varepsilon} {n}^{\frac{k-1}{2}}가 성립한다. 이것을 라마누잔-페터슨 추측라고 하며 역시 증명되어 있다.
4. 증명의 개요 ✎
먼저 \Gamma를 다음과 같이 잡자.
\Gamma = {\Gamma}_{1} (N) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod N \right \}
이 \gamma에 대해서만 증명해도 라마누잔의 추측이 증명된다. 그리고 이것은 N \ge 3이란 조건을 줬을 때 upper half plane에서 free하게 act할 수 있게 된다.
여기에서는 k \ge 2일 때만 증명할 것이다. 이제 Hecke operator를 다음과 같이 정의하자.
(T (n) f) (s) := {n}^{\frac{k}{2} - 1} \sum_{A \in \Gamma \backslash \mathcal{O} (N , n)} (\det{A})^{\frac{k}{2}} (c s + d)^{- k} f \left ( \frac{a s + b}{c s + d} \right )
여기에서
\mathcal{O} (N , n) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & n \end{pmatrix} \right \}
이다. 이제
{\Gamma}_{0} (N) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} * & * \\ 0 & * \end{pmatrix} \pmod N \right \}
이라고 하면 {\Gamma}_{1} (N)은 {\Gamma}_{0} (N)의 normal subgroup이 되며 다음을 자연스럽게 정의할 수 있게 된다. {\Gamma}_{0} (N) / {\Gamma}_{1} (N) \to {(\Bbb{Z} / N \Bbb{Z})}^{\times} 이것은 matrix에서 1열 1행의 원소만 따버리는 morphism이다. 이것은 {S}_{k} ({\Gamma}_{1} (N))에 잘 act한다. 이제 n과 N이 서로소라고 하면
I(n) : {S}_{k} ({\Gamma}_{1} (N)) \to {S}_{k} ({\Gamma}_{1} (N))
라는 morphism을 만들 수 있게 되고
\det (1 - T (p) t + I (p) {p}^{k - 1} {t}^{2})
이 algebraic integer인 해를 갖고 그 절댓값이 {p}^{\frac{k - 1}{2}}라면 라마누잔-페터슨의 추측이 참이 된다. 그리고 이는 코호몰로지를 이용하여 증명할 수 있다.
